№ 53 Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл және қасиеттері. Анықталмаған интегралды табу.

Дифференциалдау мен интегралдау амалдары өзара кері амалдар. Функцияның алғашқы функциясын табу операциясын интегралдау деп атайды. Анықтама: Кез келген X жиынында өзгеретін x үшін Fꞌ(x)= f(x) теңдігі орындалса онда F(x) функциясын f функциясының алғашқы функциясы дейді.

Алғашқы функция анықтамасын қолданып есептер шығаруға мысалдар қарастырайық:

1-есеп:

F(x) функциясы (-∞;+∞) аралығында f(x) функциясы үшін алғашқы функция болатынын көрсетейік.

F ꞌ (x)= f(x) теңдігін қолдансақ:
мұндағы x ϵ R; дәлелдеу керегі осы болатын.

Анықтама: f(x) функцияларының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы F(x)+C берілген функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

Мынадай түрде жазылады:
∫ f(x)dx= F(x)+C(F ꞌ (x)= f(x))

Мұндағы ∫ - интегралдау белгісі, х –интегралдау айнымалысы, f(x) –ті интеграл таңбасы астындағы функция, ал f(x)dx - интеграл таңбасы астындағы өрнек дейді, F(x)+C - алғашқы функцияның жалпы түрі, C - кез келген тұрақты сан, dx – x -тің дифференциалы.

Есептерді шешуде f(x) функциясы бойынша алғашқы функциялардың F(x)+C жалпы түрін табу қойылады. F(x) –ты негізгі алғашқы функция дейді.

Анықталмаған интегралдың қасиеттері:

Анықталмаған интегралдар кестесі:

Интегралды табуда мынадай жағдайларды ескеру керек:

1. Интегралды табуды тікелей кестелік интегралды пайдаланып есептеуге болады.
2. Анықталмаған интегралдың қасиеттерін пайдалану нәтижесінде интегралды есептеуді бір немесе бірнеше кестелік интегралдарды есептеуге алып келуге болады.
3. Интеграл таңбасы астындағы функцияны түрлендіру және интеграл қасиеттерін пайдалану нәтижесінде бір немесе бірнеше интегралдар есептеуге тура келеді.

Егер ∫f(x)dx= F(x)+C болса, онда ∫f(u)dx+C орындалады.

Мұнда x аргументі жаңа u аргументімен ауыстырылған. Интеграл берілген күйінде кестелік интегралға келмейтін кезде көптеген жағдайларда, интеграл астындағы өрнекті түрлендіру арқылы оны кестелік интегралға келтіруге болады. Мұндай жағдайда қандай түрлендіру жүргізу керек екенін білу қажет.

Егер интеграл ∫[f(x)]ᵃφ(x)dx түрінде беріліп, φ(x)= kf ꞌ (x) (k= const) теңдігі орындалса, онда интегралды кестелік интегралға келтіруге болады, яғни ∫[f(x)]ᵃφ(x)dx = ∫[f(x)]ᵃkf ꞌ (x)dx = k∫[f(x)]ᵃdf(x)

Есептің шығару жолдары: