Теорема 2: Функциялардың көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне тең:

Теорема 3: Екі функциялардың бөліндісінің шегі олардың шектерінің бөліндісіне тең:

болсын. Онда функцияның нүктедегі шегінің анықтамасы бойынша кез келген болсын. Онда функцияның нүктедегі шегінің анықтамасы бойынша кез келген хn ≠ а, және болатын аргументтің мәндерінің хn тізбегі үшін болады.

Ақырғы теңдіктерді және жинақталатын тізбектердің бөліндісінің шегі туралы теореманы пайдалана отырып келесі теңдікке келеміз:

Осыдан,яғни, екені шығады.

1 және 2 теоремалар дәл солай дәлелденеді.

Терема 4: Егер болса және а нүктесінің қайсыбір маңында теңдіктері орындалса, онда болады.

1 Мысал:-ті табу керек.

Δ Шектер туралы теоремаларды қолданып келесіге келеміз:

2 Мысал:-ті табу керек.

Δ Мұнда бөлімнің шегі нөлге тең, сондықтан бөліндінің шегі туралы теореманы қолдануға болмайды. Алымын көбейткіштерге жіктейік:

Сонымен, f(x) функциясының х0 нүктесіндегі шегін анықтау үшін келесі үш шарттың орындалуын тексеру жеткілікті:

1 Мысал: f(x)=|x| функциясының x→0 шегін табу керек. Δ Берідген функция сандық түзудің барлық бойында анықталған (1 сурет). Барлық х<0 теңсіздігін қанағаттандыратын х үшін f(x)=-x болғандықтан болады.

Дәл солай болады.

Сонымен, f(+0) = f(-0) = 0.