№18 Логарифмдік функция.Логарифмдік функцияның графигі, қасиеттері.

Логарифмдік теңдеулерді шешуде көп жағдайда логарифмді көбейтудің, бөлудің, дәреженің, түбірдің қасиеттері қолданады.

Сол қасиеттерді атап өтейік: 1°. 2°. 3°. егер

1°-3° формулаларындағы барлық логарифмдер а>0, a≠1 бірдей негізіне ие.

1.түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді шешу.

(1) түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді келесі әдістермен шешуге болады:

1-әдіс. (1) теңдеуінің салдары болатын (2)теңдеуін (1) теңдеуіне алмастыра отырып, оның түбірлерін тексеріп, шешу керек. Егер (1) теңдеуінің өзі кейбір логарифмдік теңдеудің салдары болса, онда түбірлерді тексеру (1) теңдеуіне алмастыру арқылы емес, сол кейбір логарифмдік теңдеуге алмастыру арқылы тексеріледі.

2-әдіс. (2) теңдеуін шешіп, оның түбірлерін не (1) теңдеуінің анықталу облысы болатын (3) теңсіздіктер жүйесіне, не (3) жүйесінің шешімі болатын теңсіздігіне алмастыра отырып шешу керек. Егер (1) теңдеуінің өзі кейбір логарифмдік теңдеудің салдары болса, онда түбірлерді тексеру (1) теңдеуінің емес, анықталу облысы берілетін теңсіздікке алмастыру арқылы тексеріледі.

3-әдіс. Бұл әдісте (1) теңдеуінің анықталу облысы (1) теңдеуін шешу барысында қарастырылады. Бұл әдісті қолдану арқылы (2) теңдеуінен және (3) теңсіздігінен құрастырылған аралас жүйесін шешеміз.

Бұл аралас жүйе (1) теңдеуіне тепе-тең болады. Егер (1) теңдеуінің өзі кейбір логарифмдік теңдеудің салдары болса, онда бұл теңдеуге тепе-тең аралас жүйесіне (2) теңдеуі ғана емес, (1) теңдеуінің емес, берілген теңдеудің анықталу облысы берілетін теңсіздіктері де кіреді.

Логарифмдік теңдеулерді шешуде үш негізгі әдіс қолданылады: потенцирлеу әдісі, яғни, теңдеуінен салдары болатын теңдеуіне көшу; жаңа айнымалыларды енгізу әдісі; логарифмдеу әдісі, яғни, теңдеуінен теңдеуіне көшу.

2.(4) түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді шешу түріндегі және осы түрге келтірілетін теңдеулерді шешу (1) теңдеуін шешуде қолданылатын үш әдістің кез-келгені қолданыла алады. (1) теңдеуінің анықталу облысы жазылатын теңсіздіктеріне a (x) > 0және a (x ) ≠ 0 шарттарын қосуды ескеру керек.

Сондықтан, (4) түріндегі теңдеуді екінші не үшінші әдіспен шешуде (2) теңдеуінің түбірлерінен

жүйесіне қанағаттандыратын түбірлер ғана алынады.

3.Әр түрлі логарифмдік теңдеулер

1-мысал. Теңдеуді шеш:

Шешуі. Анықталу облысы .Бұл облыста теңдеудің екі жағындағы өрнек оң мәндер қабылдайды, яғни бұл теңдеулердің логарифмі болады. екі жағынан да ондық логарифм аламыз:

немесе Енді деп алып келесі квадраттық теңдеуді аламыз: мұндағы Бұдан берілген есеп келесі шешімдер жиына келді: Енді екенін анықтаймыз.

Тексеру. табылған х-тің екі шешімі де теңдеудің анықталу облысында жататындықтан және - теңдеудің түбірлері[2].