Мысалы: 2х + 3у = 8; 0,6х – 1,2у= 3;
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуде әр қосылғыштағы айнымалылардың дәреже көрсеткіштерінің қосындысы 1- ге тең болуы керек. (1) теңдеуді қанағаттандыратын кез-келген сандар жұбы екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің шешімі деп аталады. Мыс: х+у=12 теңдеуінің шешімдер жұбы: (1;11), (5;7),,(9;3),(3;9) т.б Бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеу үшін: 2у – х = 5 теңдеуінде х айнымалысын у айнымалысы арқылы өрнектейік. x = 2у – 5. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің ең болмағанда бір айнымалысының коэффициенті нөлге тең болмаса,оның графигі түзу сызық болады.
Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер және оның шешімі: Егер теңдеулер құрамының біреуі сызықтық емес теңдеу болса,онда екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесі екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесі деп аталады.
Мысал:
жүйедегі бірінші теңдеудің графигі түзу сызық екені белгілі,ал екінші теңдеу графигін білмейміз. Мұндай жүйелерді шешудің негізгі жолы – ауыстыру тәсілі. Шешу алгоритмі:
Егер айнымалылардың біреуінің коэффициенттері қарама-қарсы сандар болса мүшелеп қосу тәсілін қолданамыз.
Сызықтық теңдеу – белгісіздері (айнымалы шамалары) 1-дәрежелі болып келетін және белгісіздердің көбейтінділері қатыспайтын теңдеу.
Мысалы:
түріндегі теңдеу n белгісізі (аі≤0, і=1, 2, …, n) бар сызықтық теңдеуге жатады. Егер (1) теңдеудегі аi=0 (і=2, 3, …, n) болып, бірақ а1≤0 болса, онда ол а1х = b немесе ах = b (а1 = а) түріндегі бір белгісізі бар сызықтық теңдеуге айналады. Берілген айнымалыларға қатысты бірнеше сызықтық теңдеулер жиынтығы Сызықтық теңдеулер жүйесін құрады:
Бұл жүйенің теңдеулеріндегі x1, x2, …, x n белгісіздерінің орнына табылған мәндерін қойғанда сол теңдеулерді тепе-теңдікке айналдыратын а 1, а 2, …, а n сандар жиынтығы сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері деп аталады. Ал (2) сызықтық теңдеулер жүйесі негізгі матрицамен кеңейтілген матрицаның рангілерін салыстыру арқылы шешіледі. Егер олардың рангілері бір-бірімен дәл келсе, онда сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді, ал кеңейтілген матрицаның рангісі негізгі матрицаның рангісінен үлкен болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімсіз болады. Егер (2) сызықтық теңдеулер жүйесінің барлық b i мүшелері нөлге тең болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесі бір текті деп аталады. Сызықтық теңдеулер жүйесінің бір шешімі, шексіз көп шешімі немесе мүлде шешімі болмауыда мүмкін. 1-дәрежелі теңдеуді шешу Хорезми еңбектерінде кездеседі. 1750ж. швейцарлық ғалым Г.Крамер (1704 – 1752) сызықтық теңдеулер жүйесін шешетін ереже тапты, ал 100 жылдан кейін неміс математигі Л.Кронекер (1823 – 1891) бұл теорияны жалпылап, аяқтады.
Иррационал теңдеулер - деп түбір таңбасы астында айнымалылары бар теңдеулер. Иррационал сандар– «ир» латынша кері мағыналы ұғымдарды атау үшін қолданылатын қосымша сөз, шектеусіз периодсыз ондық бөлшектер. Рационал сандар - m/n түріндегі сан, мұндағы m – рационал сан, n – натурал сан. Дискриминант – латынның discriminans – ажырату, анықтау деген сөзінен шыққан. Дискриминант таңбасына қарап отырып, оның неше түбірі бар екенін анықтайды (ажыратады). Биквадрат теңдеy – 〖ax〗^4+〖bx〗^2+c=0,a≠0 түрінде берілген теңдеу. Модуль таңбасы бар теңдеулер - айнымалысы модуль таңбасымен берілген теңдеулер. Параметрлі теңдеу –(грек тілінен орысшаға аударғанда - отмеривающий) f (х;а) = g(х;а) түріндегі бір айнымалысы бар (x - айнымалы, а - параметр) теңдеу. Виет теоремасы – келтірілген квадрат теңдеудің түбірін тез табу теоремасы. Түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке, ал түбірлерінің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Теорема француз математигі Франсуа Виеттің құрметіне аталған. Алгебралық шартты белгілер жүйесін енгізген элементар алгебраның негізін қалаушы. Ол алғашқылардың бірі болып сандарды әріптермен белгілеуді енгізіп, теңдеулер теориясын едәуір дамытқан.
2-дәрежелі көпмүше немесе квадраттық теңдеу, квадраттық үшмүшелік деп
түріндегі көпмүшелі теңдеуді айтамыз. Мұндағы a≠0 (Егер a = 0 болса, теңдеу ). Квадрат теңдеудің графигі - парабола (яғни квадрат функция).Квадрат теңдеу – 2-дәрежелі алгебралық теңдеу. Оның жалпы түрі мынадай: ax2+bx+c=0, a≠0. Квадрат үшмүшекомплекс сандаржиынында(с)сызықтық көбейткіштерге жіктеледі:
ax2+bx+c= a(x - x1)(х - x2),мұндағы х1.х2-ах2+bx+c=0 квадрат тендеудің түбірлері; х1. х2 — сандары квадрат үш мүшенің түбірлері деп те, сонымен қатар бұлар бұлар y=f(x)=ax2+bx+c квадрат функциясының нөлдері депте аталады. Квадрат үш мүшені мына түрде де жазуға болады:
Осы өрнек нақтыайнымалыныңквадрат функциясының графигін салу кезінде функцияның ең үлкен(a>0 болғанда) немесе ең кіші (a>0 болғанда) мәндерін анықтау үшін пайдаланылады. ax2+bx+c квадрат функциясының графигі парабола болады, оның
нүктесінде орналасқан.
— түзуі параболаның симметрия осі болып табылады. a>0 болғанда параболаның тармақтары жоғары
карай, a<0 болғанда — төмен қарай бағытталады. a<0 болғанда x=(-b)/2a нүктесінде максимумға кетерілсе, ал a>0 болғанда y=(b2-4ac)/4a нүктесінде минимумға төмендейді.
Парабола ордината осін (0,b) нүктелерінде қиып өтеді. Егер квадрат үшмүшенің нақты түбірлері x1≠x2 болса, онда парабола абсцисса осін (x1,0) және (x2,0)нүктелерінде қиып өтеді, x=x2 болса, парабола абсцисса осімен (x1,0) нүктесінде жанасады. a, b, және c әріптері - коэффиценттер деп аталады: a квадраттық коэффиценті - x2-тың коэффиценті, b коэффиценті - x-тің коэффиценті, ал c - тұрақты коэффицент немесе тұрақты мүше
Рационал теңдеулер: Теңдеудің екі жағы да рационал өрнектер болса, ондай теңдеулері рационал теңдеулер деп атайды. Теңдеудің екі жағы да бүтін рационал өрнектер болса,онда ол бүтін рационал теңдеу ,ал теңдеуде бөлшек рационал өрнек бар болса,ол бөлшек–рационал теңдеу деп аталады.
Бөлшек-рационал теңдеу: x-5/xa=1/(x-1)
Рационал теңдеулерді шешкенде: