№ 23 Тригонометриялық функциялардың қасиеттері мен графиктері.

y = sinx – функциясының анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны, яғни , ал мәндер жиыны [–1; 1], яғни y ϵ [–1; 1]

y = cosx – функциясының анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны, яғни , ал мәндер жиыны [–1; 1], яғни y ϵ [–1; 1]

y = tgx – функциясының анықталу облысы x ≠ π / 2 + π k, ал мәндер жиыны барлық нақты сандар жиыны, яғни y ϵ R.

y = ctgx – функциясының анықталу облысы x ≠ π /kал мәндер жиыны барлық нақты сандар жиыны, яғни y ϵ R.

y=sinx y= cosx

y=tgx

y= ctgx

Видеопроекторды қолдана отырып бүгінгі сабақта негізгі тригонометриялық функциялардың қасиеттерін меңгеріп , қарапайым түрлендірулер көмегімен олардың графигін салудың алгоритмін қолдана отырып тригонометриялық функциялардың графиктерін салуды қарастырамыз. Енді y=sin x, y=cos x тригонoметриялық функцияның графигін салуға тоқталайық.

№1

I. y=sin x функциясын қарастырайық.

1. Функцияның анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны, x ϵ R .

2. Мәндер жиыны [-1;1] кесіндісі, яғни y ϵ [-1;1]

3. sin(x+2π) = sin x, функция периодты, себебі оның ең кіші периоды 2π.

4. Функция тақ , sin( - x ) = - sin x

кесінділерінде функция бірсарынды өспелі, ал

кесінділерінде бір сарынды кемімелі.

y=sin x. функциясының графигін синусоида қысығы деп атайды.

II. y=cos x функциясын қарастырайық.

Функцияның:

1. анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны, яғни x ϵ R;

2. мәндер жиыны [-1;1] кесіндісі, яғни y ϵ [-1;1]

3. cos(x+2π) = cos x, функция периодты, себебі оның ең кіші периоды 2 .

4. функция жұп, өйткені cos( - x ) = cos x;

5. [2πn; π + 2πn], n ϵ Z, кесінділерінде бірсарынды кемімелі және [- π + 2πn; 2πn], n ϵ Z кесінділерінде бірсарынды өспелі функция. Сонымен қатар функцияны Ехcel программасының мүмкіндіктерін пайдалана отырып кесте құрып графигін саламыз

x=0; қадам 0,2 кесте құрып, Еxcel де графиктік диаграмманы таңдаймыз.

Тригонометриялық функциялардың графиктеріне қарапайым түрлендірулер қолдануға мысалдар

y= sin x

y= 2sin x

y= sin x+1

Есептер шығару

Функцияның жұптығын немесе тақтығын анықтаңдар:

A) y=x cos x. F(-x) = -x cos(-x)= -xcos x жұп та,тақ та

жұп функция

Функциялардың графигін салыңдар y=sin x , y=cos x. функцияларының графиктерін салыңдар

А)

D (y)= R cos x ϵ [-1;1],

ә) y=3+ sin x.

D(y)= R, E(y)= [2;4]

sin x ϵ [-1;1]

y=tg x функциясын қарастырамыз:

1) анықталу облысы

жиынынан басқа барлық нақты сандар жиыны, себебі

2) мәндер жиыны - барлық нақты сандар жиыны, яғни tgx ϵ R;

3) tgx= tg(x+π), функция периодты, себебі ең кіші оң периоды π саны;

4) функция тақ, өйткені tg(-x)= - tgx,

интервалында функция бірсарынды өспелі.

Ендібақылау нүктелерін координаталық жазықтықта белгілеп, аралығында графигін саламыз. (1-сурет)

1-сурет

y=tg x функциясы тақ функция болғандықтан, оның графигі бас нүктеге қарағанда симметриялы қисық екенін ескеріп, аралығында графикті жалғастырамыз. Сонда y=tg x функциясының интервалындағы графигі шығады. (2-сурет)

2-сурет

Берілген функцияның тақ екенін ескеріп, функияның барлық анықталу облысындағы графигін саламыз. (3-сурет)

3-сурет

y=tg x функциясының графигін тангенс оида қисығы деп атайды.

Мысал: Берілген y= f (x) функциясының графигін салайық:

а)

ә)

Шешуі: а) Алдымен y = ctg x функциясының графигін саламыз. Графикті Ox осі бойымен қашықтығына оң бағытқа параллель көшіреміз. (4-сурет)

4-сурет

ә) y=cos x функциясының графигін саламыз. Содан кейін Oy осі бойымен графикті 2 есе созамыз. Шыққан графикті Ox осі бойымен арақашықтығына теріс бағытта параллель көшіреміз. Ең соңғы графикті Oy осі бойы-мен жоғары бір бірлікке параллель көшіреміз. (5-сурет)

5-сурет