№ 39 Координаттар арқылы берілген векторларға қолданылатын амалдар.Вектордың ұзындығының формуласы, векторлардың арасындағы бұрыштың формуласы, екі нүктенің арақашықтығының формуласы.

Екі нүктенің арасындағы қашықтық. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу.
Декарт жазықтығындағы M1(x1,y1) және M2(x2,y2) нүктелері арасындағы қашықтық

формуласы арқылы есептеледі.

Декарт жазықтығының M1(x1,y1 және M2(x2,y2) нүктелері берілсін. Осы нүктелер арқылы өтетін түзудің бойында жатқан M(x,y) нүктесі үшін болса, онда М нүктесі кесіндісін λ қатынаста бөледі деп айтады.

кесіндісін қатынаста бөлетін M(x,y) нүктесінің координаттары

формулалары арқылы анықталады.

Координаттар жүйесін түрлендіру:

а)Координаттар жүйесін параллель көшіру. Бұл түрлендіру x= x ꞌ - a,y = y ꞌ - b
формулалары арқылы орындалады (4-сурет). Мұндағы (xOy) алғашқы, (xOꞌy) жаңа координаттар жүйесі, а мен b жаңа жүйенің бастапқы нүктесі болатын Oꞌ-тің алғашқы жүйедегі координаттары: Oꞌ(a,b).

формулалары арқылы анықталады.

б)Координаттар жүйесін бұрышына бұру. Бұл түрлендіру (5-сурет)

формулалары арқылы орындалады. Мұндағы (xOy) алғашқы, (xOꞌy) - жаңа координаттар жүйесі, α- бұру бұрышы.

с) Жалпы түрлендіру. Бұл түрлендіру параллель көшіру мен берілген бұрышқа бұрудан тұрады да (6-сурет)

формулалары арқылы орындалады. Мұндағы (xOy) алғашқы, (xOꞌy) - жаңа координаттар жүйесі, а мен b жаңа жүйенің бастапқы нүктесі болатын Oꞌ -тің алғашқы жүйедегі координаттары: Oꞌ(a,b),α, - бұру бұрышы.

Кеңістікте тікбұрышты координаттар жүйесі бір нүктеде қиылысатын өзара перпендикуляр үш координаттар өсі арқылы беріледі.

Осы өстердің қиылысу нүктесі О - координат басы деп аталады, ал өстердің өзі координаттар өстер деп аталады да Ох,Оу,Оz деп белгіленеді. Әдетте, Оx – абсцисса , Оy – ординат , Оz – апликат деп аталады. Сүретте х, у, z, өстердің оң бағытына қойылады (7 – сүрет ).

Егер Оz өсінің оң бағытындағы нүктеден қарағанда Оx – тен Оy –ке дейінгі ең кіші айналу бұрышы сағат тілінің қозғалу бағытына қарсы болса, онда бұл жүйе оңдеп, ал керісінше жағдайда сол деп аталады (7 суретте оң жүйе көрсетілген). Mx, My, Mz деп М нүктесінің Ох, Оу, Оz өстеріндегі проекцияларын белгілейік. x= OMx, y= OMy, z= OMz, сандары Мнүктесінің координаттары деп аталады да M(x,y,z) деп белгіленеді және координаттардың орналасу реті сақталады.(xOy),(yOz),(xOz) координат жазықтықтары деп аталады. Суретте Mxy, Myz, Mxz деп - М нүктесінің өздеріне сәйкес координаттар жазықтығындағы проекциялары белгіленген. Бұл жүйе кеңістіктегі тікбұрышты декарт жүйесідеп аталады

Кеңістіктегі M1(x1, y1, z1) және M1(x2, y2, z2) нүктелерінің ара қашықтығы

M1және M2 нүктелері арқылы өтетін түзудің бойында жатып кесіндісін λ қатынаста бөлетін M(x,y,z) нүктесінің координаттары

формулалары арқылы анықталады. Мұндағы және M≠ M2.

Төбелері A(x1,y1),B(x2, y2), C(x3, y3) нүктелерінде жататын АВС ұшбұрышының S ауданы

формулаcы арқылы анықталады. Егер бағытталған кесіндісінен кесіндісіне дейінгі ең қысқа бұрылу б±рышы оң болса, онда S оң таңбамен, керісінше жағдайда теріс таңбамен алынады.