№ 51 Дифференциалдық функция және геометриялық мағынасы.

Анықтама.Егер x0 нүктесініңбірмаңайында f (x) ≥ (x0)(f( (x) ≤ f (x0)) теңсіздігіорындалса, онда x0 нүктесін f(x) функциясыныңжергіліктіминимум (максимум) нүктесідепатайды. Жергілікті минимум және жергілікті максимум нүктелері жергілікті экстремум нүктелері деп аталады. Ал осы нүктелердегі функцияның мәні функцияның экстремумы деп аталады. [a,b] кесіндісінде анықталған функцияның тек қана бір ең үлкен және ең кіші мәндері болады, ал максимумдар және минимумдер бірнеше болуы мүмкін. Функцияның кейбір максимумдары оның минимумдарынан кіші болуы да мүмкін.

Ферма теоремасы. Егер y=f(x) функциясы (a,b) интервалында дифференциалданатын болса және x0ϵ(a,b) нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса, онда функцияның туындысы бұл нүктеде нөлге тең, яғни f(x)=0.

Геометриялық мағынасы: функцияның максимум және минимум нүктелерінде жүргізілген жанама Ox өсіне параллель болады.

Ролль теоремасы.Егер y=f(x) функциясы: [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болса,(a,b) интервалында дифференциалданатын болса және f(a) = f(b) болса, онда ең болмағанда бір cϵ(a,b) нүктесі табылып,f ꞌ (c)=0 болады.

Геометриялық мағынасы: егер теорема шарттары толығымен орындалса, онда [a,b] кесіндісінде жататын ең болмағанда бір c нүктесі табылып, сол нүктеде жүргізілген жанама Ox өсіне параллель болады.

Kоши теоремасы.Егер y=f(x) және y=g(x) функциялары [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болса, (a,b) интервалында дифференциалданатын болса және gꞌ (x)≠0 Ax ϵ (a,b), онда ең болмағанда бір cϵ(a,b) нүктесі табылып f(b) - f(a) / g(b)-f(a)= f ꞌ (c) / g ꞌ (c) теңдігі орындалады.

Лагранж теоремасы. Егер y =f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болса, (a,b) интервалында дифференциалданатын болса онда (a,b) интервалында жататын c нүктесі табылып, теңдігі орындалады.

Геометриялық мағынасы: мына қатынас f(b)- f(a) / b-a [a,b] кесіндісінде y= f(x) функциясының графигінің шеткі нүктелерін қосатын хорданың Ox өсінің оң бағытымен жасайтын бұрыштың тангесіне тең, ал f ꞌ (c) c нүктесіне жүргізілген жанаманың Ox өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенісіне тең. Лагранж теоремасы бойынша cϵ(a,b) нүктесінде олар өзара тең болады, яғни қиюшы мен жанама параллель болады

Лопиталь ережесі.Бұл ереже 0 / 0 немесе ∞ / ∞ анықталмағандықтарын есептеуге мүмкіндік береді.

Теорема.Айталық, x=a нүктесінің маңайында f(x) және g(x) функциялары анықталған және дифференциалданатын болсын (нүктенің өзінде бұл шарттар орындалмауы да мүмкін) және g (x)≠0, g ꞌ (x)≠0. шегі бар болса, онда шегі бар болады және мына теңдік орындалады Осы сияқты тұжырымдар x→+∞, x→-∞, x→∞, x→a-, x→a+ жағдайларда да орынды.

Функцияның дифференциалы. y= f(x) функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда:

шексіз аз шама.

Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: ∆y= f ꞌ (x)∆x+ α(∆x)*∆x. Осы теңдікте екінші қосылғыш α(∆x) * ∆x, ∆x- ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ∆y - ке эквивалентті шама болады

Анықтама.Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: dy = f ꞌ (x)∆x. Дербес жағдайда, егер y=x болса, онда dy = (x ꞌ ) ∆x= ∆x , осыдан dx = ∆x және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: dy=f ꞌ (x) dx . Осыдан f ꞌ (x)= dy / dx, яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең

Дифференциалды есептеу ережесі.Айталық y = u(x) және y= v(x) дифференциалданатын функциялар болсын,

1) d(u±v) = du±dv, d(u+v) = du, мұндағы с –сан.

2) d(u+v) = vdu + udv, d(cu) = c* du,

егер v(x)≠0.

4) Егер u=u(x) функциясы x нүктесінде дифференциалданатын, ал y= f(u) u нүктесінде дифференциалданатын болса, онда y = f(u(x)) күрделі функция үшін, df(u) = f ꞌ (u)* u ꞌ (x)dx= f ꞌ (u)du . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, y = f(x) функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:

y+∆y = f(x+∆x) , осыдан f(x+∆x)≈ f(x)+dy = f(x)+f ꞌ (x)∆x.

Егер x0 нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: f(x0+∆x) ≈ f(x0)+ f ꞌ (x0)*∆x.