- Кешкі серуен кезінде үш таныс адамның кездесуі.
Ықтималдық теориясы дегеніміз - кездейсоқ оқиғалардың орындалуының заңдылығын зерттейтін математиканың бөлімі.
Ықтималдықтар теориясының негізінде «математикалық статистика» ғылымы пайда болды. Мат. Статистиканы бақылау нәтижелерін қорытындылайтын әдістерді зерттейтін ғылым деп есептеуге болады. Ол қызметтің барлық салаларында маңызды роль атқарады.
Күнделікті өмірде әр түрлі кездейсоқ оқиғалармен кездесеміз және олардың орындалу жиілігі әр түрлі.
Мысалы, ойын сүйегін 48 рет лақтырып, 1, 2, 3, 4, 5, 6 цифрларының түсу кестесін құрайық:
«цифрлар» 1 2 3 4 5 6
Түсу саны 6 8 9 7 8 10
Анықтама.
А оқиғасы қолайлы жағдайлар санының (т) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санын (п) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады:
(1)
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама дейміз. Бұдан төмендегі салдар шығады.
1. Ақиқат оқиға ықтималдығы 1-ге тең.
Шынында,
оқиға ақиқат болу үшін А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т сынаудың барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны п-ге тең, яғни m=n болады. Онда (1) бойынша
(2)
2. Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөл ге тең.
Шынындада,
егер оқиға мүмкін емес болса, онда А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т нөльге тең болады. Олай болса
(3)
3. А оқиғасының ықтималдығы р(А) нөльмен бір аралығындағы оң таңбалы сан.
Шынында, А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т нөльден п-ге дейінгі, өздерін қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды, яғни
(4)
Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындалса, онда олар үйлесімді оқиғалар деп аталады.
Анықтама: Егер А және В оқиғалары бір кездейсоқ тәжірибе нәтижесінде қатар орындала алмаса, онда олар үйлесімсіз оқиғалар деп аталады.
Мысал 1: «Далада жаңбыр жауып тұр», «аспанда бірде бұлт жоқ» - үйлесімсіз оқиғалар.
Мысал 2: Айдын мен Марат шахмат ойнады. А- «Айдын жеңді», В – «Марат жеңілді» - үйлесімді оқиғалар.
Мысал 3: Келесі А және В оқиғалары үйлесімсіз:
а) тиынды лақтырғанда:
А=( елтаңба жағының түсуі);
В=( цифр жағының түсуі);
б) Жәшіктен екі алма алынды:
А=( екеуінің де қызыл болуы);
В=( екеуінің де көк болуы);
Ескерту: Үйлесімсіз оқиғалар жайлы айтқанда, олардың бір тәжірибе аясында қарастырылатынын ескерген жөн.
Егер А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, онда немесе А, немесе В оқиғасы орындалады. Бұл деп отырғанымыз:
Бұл теңдік үйлесімсіз оқиғаларға арналған ықтималдықтың қосу ережесі деп аталады. Ол кездейсоқ оқиғаның кез келген санына байланысты өзгереді:
Мысал 4: Бірінші жәшікте 12 түрлі-түсті шарлар, екінші жәшікте 10 түрлі-түсті шарлар бар. Кездейсоқ бір жәшіктен бір шар алынды. Дәл осылай шарды неше әдіспен таңдап алуға болады?
Бірінші жәшіктен шарды 12 әдіспен, екінші жәшіктен 10 әдіспен таңдап алуға болады. Демек, 12+10=22.
Ал егер А және в оқиғалары қиылысса, яғни үйлесімді болса ықтималдықтың қосу ережесі қандай болады? Онда мынадай күрделі ережені жазайық:
Дәлелдеуі оңай:
Р(А)+Р(В) қосындысы – А және В оқиғаларының элементтерін жекежеке есептеп қосқанға тең. Сондықтан бұл қосынды құрамына А В қиылысуына енетін элементтер саны екі рет еніп отыр: бір рет А құрамында, екінші рет В құрамында. Олай болса,
.
m – А оқиғасына қолайлы барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны, k – В оқиғасына барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Айтылып өткен m+k оқиғасының ішінде А және В оқиғасына да қолайлы қарапайым оқиғалар бар болсын. Ал n – барлық мүмкін қарапайым оқиғалар саны болсын. Онда,
Мысал 5: Екі қылмыс жасаған адамдар ізделінуде. Екеуі бір-біріне тәуелсіз тәулік ішінде 0,5 ықтималдықпен ұсталынуы мүмкін. Тәулік ішінде ең болмағанда бір қылмыскердің ұсталу ықтималдығы қандай?
А – “ең болмағанда бір қылмыскер ұсталды”. Бұл оқиғаны қарапайым оқиғаларға бөлейік: В1 – бірінші қылмыскер ұсталды, ал В2 – екінші қылмыскер ұсталды. Онда, А=В1+В2, демек Р(А)=Р(В1+В2).
Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2)-Р(В1 В2) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75.