Тәуелсіз оқиғалар. Шартты ықтималдық. Ықтималдықтың көбейту ережесі.
Бір тәжірибеден туындайтын кез келген А және В оқиғаларын қарастырайық. Тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болды дейік.
Онда В оқиғасы туралы не айтуға болады?
Мысал 1: А және В үйлесімсіз және тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы пайда болсын. Эйлер диаграммасын құрайық.
В оқиғасы орындалған жоқ.
Мысал 2: , тәжірибе нәтижесінде А оқиғасы орындалсын. В оқиғасы туралы не айта аламыз? Эйлер диаграммасын құрайық.
В оқиғасы орындалды.
Мысал 3: Екі асық лақтырылсын. Пайда болатын оқиғалар:
А=( бірінші асықтың бүк жағы түседі);
В=( екінші асықтың шік жағы түседі);
А оқиғасының орындалғаны анық болса, В оқиғасы туралы не айтуға болады? Бұл жерде бірінші асықтың тәжірибесіндегі нәтиже екінші асықтың тәжірибесіндегі нәтижеге әсер ете алмайды. Демек, А және В оқиғалары бір-бірінен тәуелсіз.
Анықтама: Егер А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауы В оқиғасының орындалуына немесе орындалмауына әсер етпейтін болса, онда бұл А және В оқиғалары өзара тәуелсіз деп аталады.
Мысал 4: 1-ден 10-ға дейінгі натурал сандар арасынан кез келген бір сан таңдап алынады. Пайда болатын оқиғаларды қарастырайық:
А=( алынған сан 2-ге бөлінеді );
В=( алынған сан 3-ке бөлінеді);
Қарап тұрсақ, санның 2-ге бөлінгіштігінің 3-ке бөлінгіштігіне еш қатысы жоқ сияқты. Дегенменде, олар бір-біріне тәуелді.
Алдымен В оқиғасының ықтималдығын анықтайық. Барлық он сан ішінен 3-ке тек үш сан – 3, 6, 9 бөлінеді. Онда Р(В)= .
Алынған сан 2-ге бөлінеді дейік. Яғни А оқиғасы орындалды, бірақ алынған сан –белгісіз. Бұл алынған санның 3-ке бөліну ықтималдығы қандай? Алынған санның 2-ге бөлінетіндігін дәл білгендіктен, ол сан мына бес сандардың біреуі болуы мүмкін: 2, 4, 6, 8, 10. Бқл сандардың ішінен 3-ке тек 6 ғана бөлінеді.
Мұндай шарттардан соң, В оқиғасының ықтималдығы -ке тең.
< болғандықтан, В оқиғасының мүмкіндігі азайды.
Демек, бұл жерде А және В оқиғаларын тәуелсіз деп айтуға болмайды.
А және В оқиғаларының қиылысуын қарастырайық:
1) бірінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос болса, онда В орындалмайды.
2) екінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы барлық А-мен беттессе, онда В қатаң орындалады, себебі қалған нәтижелер В оқиғасына қолайлы.
3) төртінші мысалдағыдай, олардың қиылысуы бос емес және беттеспесе, онда В оқиғасының ықтималдығын А В-ның нәтижелер санын А-ның нәтижелер санына қатынасы түрінде анықтаған дұрыс. Егер А оқиғасы орындалса, онда бұл ықтималдықты В оқиғасының шартты ықтималдығы деп атайды:
Егер В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының орындалуы немесе орындалмауынан өзгермесе, яғни оның шартты ықтималдығы
болса, онда В оқиғасы А оқиғасынан тәуелсіз.
Бұл теңдікті шартты ықтималдық теңдігімен теңестірейік:
Бұл теңдік орындалса, оқиғалар тәуелсіз деп аталады. Ал соңғы теңдік ықтималдықтың көбейту ережесі деп аталады.
Мысал 5: Дидарда үйге кіру үшін 3 кілт бар. Қараңғыда ол есікке кілтті кездейсоқ әдіспен таңдап, аша бастайды. Әр есікті ашуға 5 секундтан уақыт кетеді. Оның 15 секундта барлық есіктерді ашу ықтималдығын табыңдар.
А – “барлық есіктердің ашылуы”. Бұны қарапайым оқиғаларға бөлейік. В – “бірінші есік ашылды“, С – “ екінші есік ашылды“, ал D – “ үшінші есік ашылды“. Онда А=ВСD, демек Р(А)=Р(ВСD).
Комбинаторика және ықтималдықты есептеу.
Алмастыру және орналастыру. Факториал.
Комбинаторика сөзі латынның “combino” – біріктіремін дегенді білдіреді. Шыныменде кез келген комбинацияны әртүрлі әлементтерді бір-бірімен біріктіру арқылы аламыз. Комбинаторикада әр комбинацияға өз атын береді. Біз соның қазір екі түрімен танысамыз – алмастыру және орналастыру.
Алдымен факториалмен танысайық.
n элементтен тұратын орналастыруды құруда бірінші элементті n әдіспен таңдауға болады, одан кейін екінші элементті (n-1) әдіспен (себебі алдында бір элемент бар), одан кейін үшінші элементті (n-2) әдіспен, одан әрі қарай тағыда сол сияқты таңдалынады.
Барлығы: орналастыру аламыз. Бұл 1-ден бастап n-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі математикада n санының факториалы деп аталып, n! Деп белгіленеді.
Мысал 1:
Ескерту: Қолайлы болу үшін 0!=1 деп алынады.
Қайталанбалы орналастырулар.
Айталық, бізге бос емес Х жиыны берілсін. Осы жиынның элементтерінен кұрастырылған мынадай тізімді карастырайық:
Мұнда кейбір элементтер кайталанып орналасуы мүмкін. Бұл түрдегі әрбір элементтер тізімін X жиынының элементтерінен түзілген ұзындыгы k-га тең шеру деп атайды.
Анықтама. Егер п(Х)=п болса, онда Х жиынының элементтерінен құралған әрбір ұзындығы k-га тең шеруді п-нен k бойынша алынған қайталанбалы орналастыру деп атайды. Ал барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбалы шерулер санын арқылы белгілейді және бүл санды мына формуламен анықтайды:
Дәлелдеу. Шынында да, шерудің әрбір орнында X жиынының кез келген элементі орналаса алады. Онда көбейту ережесі бойьнша
Қайталанбайтын орналастырулар. Алмастырулар
X жиыны п элементтен кұралған жиын болсын. Онда Х-тің элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері кайталанбайтын әрбір шеруді п-пен k бойынша алынган қайталанбайтын орналастыру деп атайды. Қайталанбалы орналастыруда п және k кез келген натурал сандар болуы мүмкін. Ал кайталанбайтын орналастыруларда n k болуы қажет. X жиынының элементтерінен құралған барлык n-нен k бойынша алынған кайталанбайтын орналастырулар санын арқылы белгілейді және мынадай формула орындалады:
немесе.
Шынында да, ұзындығы k-ға тең шерудің бірінші орнында Х жиынының n түрлі элеметтерінің кез келгені орналаса алады, ал екінші орында, элементтері кайталанбайтындықтан, қалған n-1 түрлі элементтердің кез келгені орналаса алады және т.с.с. k-сыншы орында әр түрлі п-k+1 элементтер орналаса алады. Сондықтан көбейту ережесі бойынша теңдігі орындалады. Осыдан
Егер п=k болса, онда кайталанбайтын орналастыруды п элементтің алмастыруы деп атайды. Барлық п элементтен алынған алмастырулар санын Рп арқылы белгілейді және
Шынында да 0!=1 болатынын ескерсек, онда .
Мысал 1: 8 қаладан өтетін саяхат бағытын неше түрлі тәсілмен құруға болады?
Шешімі:
Бірінші қаладан шығатын болғандықтан, қалған қала саны 7 болады:
7!=
Мысал 2: Мектептегі оқушылардың «Жас спортшылар» ұйымына 9 оқушы таңдалды. Енді осы оқушылар арасынан ұйымның басшысы мен орынбасарын таңдау қажет. Оны неше әдіспен таңдауға болады?
Шешімі:
9 оқушыдан тұратын ұйымнан 2 оқушы таңдалады. Оқушылар қайталануы мүмкін емес. Демек, 9 оқушы арасынан 2 адамды қайталанбайтын орналасу санын табу қажет. Яғни, басшы мен оның орынбасарын әдіспен таңдауға болады.
Қайталанбайтын терулер
Анықтама: п элементі бар X жиыныныц әрбір k элементті ішкі жиынын п-нен k бойынша алынган қайталанбайтын теру деп атайды. Ал барлық п-нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер санын арқылы белгілейді.
формуласы орындалады. Мұнда санын теру коэффициенті деп атайды.
Дәлелдеу. теңдігі орындалады. Шынында да, әрбір п-нен k бойынша алынған кайталанбайтын теруді түрлі тәсілмен алмастыру арқылы барлық n-нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыруды аламыз.
Мысал 1:
Бәйге жарысына жылқышы 16 тұлпарлардың арасынан 8 тұлпарды таңдады. Егер бәйгеге 4 тұлпардың қатысатыны белгілі болса, онда жылқышы тұлпарларды неше түрлі тәсілмен таңдай алады?
Шешімі:
Барлық 16 тұлпардан 4-уі нақты қатысатыны белгілі болса, онда 16-4=12. Ал таңдалатын 8 тұлпардың 4-уі нақты қатысатын тұлпарлар,
онда 8-4=4. Яғни қалған 12 тұлпардан 4 тұлпарды кез келген әдіспен таңдауға болады.