Производная

Тема: Производная.

 

Цели урока:

Образовательная: формирование знаний о формулах дифференцирования и умений применять их для вычисления производных. Отработать навыки нахождения производных функций, используя изученные правила дифференцирования функций.

Развивающая:      развивать логическое мышление, познавательную активность, навыки самоконтроля и вычислительные навыки.

Воспитательная:  воспитывать умение обосновывать свои соображения и высказывания, самостоятельно делать правильные выводы и заключения. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных тригонометрических функций.

 

Оборудование: сигнальные карточки обратной связи, распечатки на партах с текстами и листы контроля, интерактивная доска, компьютер.

 

Ожидаемый результат:

1 – й уровень: каждый ученик должен знать формулы дифференцирования и уметь применять их для нахождения производных на уровне обязательных результатов;

2 – й уровень: знать вывод этих формул и уметь применять их для вычисления производных тригонометрических функций;

3 – й уровень: знать таблицу производных, уметь выводить эти формулы и применять их для вычисления производных сложных функций.

 

Тип урока: комбинированный урок.

Методы поведения урока: словесный, наглядный, практический и проблемно – поисковый.

Ключевое понятие: производная.

 

Структура урока:

1. Организационный момент (1-2 мин).
2. Проверка домашнего задания (4 мин).
3. Устная работа (10 мин).
4. Практическая работа (18 мин).
5. Тестовый контроль (6 мин).
6. Постановка домашнего задания (2 мин).
7. Подведение итогов урока (рефлексия по методу неоконченных предложений) (2 мин).

 

Ход урока.

1. Организационный момент:

• Сообщение цели и задач урока;
• Познакомить учащихся с планом урока

2. Проверка домашнего задания:

 

1 уровень: №525 – решение прокомментировать.

 

2 уровень: №526 – решение записать на доске и объяснить его решение.

 

Учащиеся проверяют индивидуально свои ответы и ставят себе (самоконтроль) оценку в лист контроля

Фамилия, имя	Домашнее задание	Правила диффе-ренцирования	Таблица производных	Практическая работа	Самост.работа Решение задач	Тест	Итоговая оценка

 

Еще Софья Ковалевская говорила: “Математик должен быть поэтом в душе”. Приведу стихотворение (из учительского фольклора) о производной с использованием таблицы алгоритмического поиска производной.

 

В данной функции от “икс”, нареченной “игреком”, Вы фиксируете “икс”, отмечая индексом, Придаете вы ему тотчас приращение, Тем у функции самой вызвав изменение Приращений тех теперь взявши отношение Пробуждаете к нулю у дельта икс стремление Предел такого отношения вычисляется, Он производною в науке называется

y=f(x0) x0; f(x0) x0+∆x ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) ∆y/∆x ∆x→0 y/= lim (∆y/∆x)       ∆→0

 

3 Фронтальный опрос:

 

1. Сформулируйте определение производной функции f в точке х₀.
2. Можно ли рассматривать производную частного как производную произведения двух функций?
3. Какие из функций являются сложными?

1) у = 4 √х +1               3) у = cos (3x)            5) y = 3 cos (x)

2) y =√(4g+1)                 4) y = (x ² + 2) ⁴          6) y = sin (2x +∏/4 )

Почему эти функции называются сложными функциями? (функция составленная из нескольких функций называется сложной ).

1. Сформулируйте геометрический смысл производной.
2. Сформулируйте физический смысл производной.
3. Запишите уравнение касательной.
4. Повторим формулы дифференцирования:

 (U + V) ^/ =                                                  (1/U)^/

(U* V) ^/ =                                                     (U/V)^/

(c  U) ^/ =                                                      (x ⁿ)^/ =

(kx + b) ^/ =                                                  (f (g (x))) ^/ =

 

5. Найдите производную функции:   

 

4 Практическая работа:

1. Учащимся раздаются карточки с заданиями (разного уровня сложности). Они находят производные функций в тетради.

1 уровень: решив эти примеры, вы узнаете имя и фамилию крупного французского математика, доказавшего многие теоремы о пределах, которыми мы пользуемся при вычислении производных.

 

Л	f (x) = 2x2	f/ (-1)	-4
К	g (x) = sin x	g /(0)	1
Ш	f (x) = (x + 3)3	f/ (1)	48
И	f (x) =7x	f/ (10)	7
О	g (x) = cos 5x	g/ (∏/10 )	-5
У	g (x) =12	g/ (21)	0
И	g (x) = 3x2 +x -16	g/ (1)	7

 

— 4	0	7	1	-5	48	7
Л	У	И	К	О	Ш	И

 

2 уровень: решив эти примеры, вы расшифруете фамилию французского математика, который ввёл термин «производная»

 

Р	f (x) = 2x 4	f/ (-1)	— 8
Н	g (x) = cos x	g/ ()	-1/2
Г	f (x) = (9 – 4x 2)	f/ (-1)	8
Р	f (x) =	f/ (4)	1/4
А	g (x) = sin 5x	g/ (∏/10 )	0
Ж	g (x) =12 x	g/ (100)	12
А	g (x) = 2x2 +x -11	g/ (1)	5
Л	g(x) =	g/ (3)	1

 

1	0	8	¼	5	— ½	12
Л	А	Г	Р	А	Н	Ж

 

2. Применение производной в физике и технике.

вариант 1                                                               вариант 2

1) Точка движется прямолинейно по закону

S(t)=2t³-3t                                                              S(t)=t²+2t+3

2) Найдите скорость движения точки, в момент времени t=0.

3) Найдите скорость движения точки, в момент времени 

при t₀=3 cek                                                          при t₀=2 cek.                                                

 

Решение:

1 вариант. V=6t² – 3    V(3)=6*9-3=51 (м/с)

2 вариант. V=2t+2    V(2)=2*2+2=6 (м/с)

 

3. Каждый выбирает задания по своим способностям:

1.  Решите уравнение f ^/ (х) = 0:

f (x) = cos x + √3/2p,  — sin x +√3/2 = 0; -sin x = -√3/2;  sin x =√3/2 ;  x= (-1)^k ∏/3 +∏ k, k

2.  Решите неравенство f ^/ (х)  > 0:

f (х) = sin x – x; cos x-1>0; cos x>1;  решений нет.

3.  Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) в точке х₀:

f (x) = cos x ;   x₀ =2∏/3

Решение: у = f (x₀) + f ^/ (x) (х – х₀)

f (2∏/3) = cos (2∏/3)= -1/2 ;    f ^/ (x) = (cos x) ^/ = — sin x ;  f ^/ (2∏/3) = — sin(2∏/3) = — √3/2;

y = — 1/2 -√3/2 (x -2∏/3 ) = -1/2 — √3/2 x + √3∏/3.

4. Определите промежутки возрастания и убывания функции f (x), если

f(x)=x³+3x²+3x+1

 

5. Проверка уровня усвоения изученного материала: