Page 66 - Жоғарғы математика кітабы

13.Анықталмаған интеграл анықтамасы.Анықталмаған

интегралдың негізгі қасиеттері.

1. Туындысы бойынша функцияны табу жөніндегі есептер.
Біз берілген туындысы бойынша функцияның өзін табумен байланысты екі
есептің шешімін таппақпыз.

1. Дененің қозғалыс заңы

S=f(t)
теңдеу арқылы берілген. Бұндағы t-уақыт, s-дененің жүрген жолы.
Қарастырылып отырған қозғалыстың берілген мезгілдегі лездік
жылдамдығы v:

формуласы бойынша анықталатыны дифференциалдық есептеуден белгілі
болатын.Ал механикада бұған кері есеппен тым жиі кездесуге тура келеді.
Ондай есептер мына түрде болып келеді; дененің берілген t мезгіліндегі
туындысы v=v(t) беріледі де, сол бойынша дененің қозғалу заңын табу, яғни
өткен мерзім мен жүрген жол арасындағы тәуелділікті анықтау талап етіледі.
Бұл есептің шешімі былай табылады:

Берілген жылдамдық v=v(t) дененің қозғалыс заңын
бейнелейтін f(t) функциясының туындысы болатыны бізге белгілі, демек
ізделіп отырған белгісіз функция f(t)-тің туындысы f’(t)=v(t) берілген. Бізден
сол f(t)-ті табу талап етіледі. Демек, бұл есеп дифференциалдық есептеуде
қарастырылған негізгі есепке кері есеп болып табылады. Басқаша айтқанда:
дифференциалдық есептеуде функция беріліп, оның туындысын табу талап
етілсе, енді туынды беріледі де, бастапқы функцияны табу етіледі.
2.[0, i] кесіндісіне орналасқан дененің сол

кесіндінің х нүктесіндегі сызықтық тығыздығы p:

функциясы түрінде беріледі. Енді сол дененің [0, i] кесіндісінің [0, x]
бөлігіндегі тығыздығы m-ді табу керек. [0,x] бөлігінің массасы - x- тің
функциясы, яғни
m=f(x).
Олай болса, массасын табу дегеніміз осы f(x) функциясын табу болып
табылады.
x нүктесіндегі сызықтық тығыздық p:

формуласымен анықталады. Ендеше,