Page 67 - Жоғарғы математика кітабы

болады. Ал есептің шарты бойынша -белгілі функция, демек берілген
сызықтық тығыздығы бойынша дененің массасын табу дегеніміз берілген
туынды f’(x) бойынша функция f(x)- ті табу жөніндегі мәселе болады.
2. Алғашқы функция ұғымы.
Ғылым мен техниканың түрлі-түрлі салаларындағы көптеген мәселелерді
шешу туындысы берілген функцияны табуға әкеліп соқтырады. Сондықтан
математикада жаңа бір операция, интегралдау операциясы қарастырылады.
Ізделіп отырған F(x) функциясының берілген туындысы f(x) бойынша
сол F(x) функциясын табу мәселесі тек интегралдау
операциясының жәрдемімен шешіледі. Міне осы F(x)-ті берілген
функция f(x)-тің алғашқы функциясы деп атайды.
Анықтама. Егер бір аралықтың әрбір нүктесінде функция F(x) үшін
dF(x)=f(x)dx
теңдігі орындалса, F(x) функциясы f(x)-тің сол аралықтағы алғашқы
функциясы деп аталады.
6
7
Мысалы: F(x)=x бүкіл сандар осі бойында f(x)=7x функциясының
7
6.
алғашқы функциясы болады, өйткені х-тің кез келген мәнінде (x )’=7x
Ал функция F(x)=lnx функция f(x)=1/x үшін алғашқы функция болады
өйткені
(lnx)’=1/x
1-теорема. Егер F(x) функциясы белгілі бір аралықта f(x)-тің алғашқы
функциясы болса,
F(x)+c
Функциясыда (C- кез келген тұрақты) ол функция үшін сол аралықта
алғашқы функция болады.
Дәлеледеу: F(x) функциясы f(x) –тің алғашқы функциясы. Олай болса,
F’(x)=f(x).
Сонымен бірге

[F(x)+C]’=f(x)
Демек F(x)+C функциясы да f(x) үшін алғашқы функция болады.
2 теорема. Берілген функцияның алғашқы функцияларының бір-бірінен
айырмасы тұрақты шама болады.
Дәлелдеу. Егер берілген f(x) функциясының қандай да бір алғашқы

функциясының F(x), ал, кез келген алғашқы функциясын десек, онда
мына шарттар орындалар еді:

яғни алынған аралықта F(x) пен функцияларының туындылары бірдей
болады. Олай болса, айырымы тұрақты болуы тиіс,

яғни:

Бұдан