Page 109 - Жоғарғы математика кітабы

егер бұл анықтамадан барлық мүмкін бөлімдердің жоғарғы шекарасы
алынған болса, онда тек үздіксіз, айырмашылығы жоқ болса да дұрыс
болады.

Қисық жолды шексіз түрде параметрлеуге болады. Үздіксіз
дифференциалданатын бижекция болсын. Содан кейін қисықтың үздіксіз
дифференциалданатын тағы бір параметрленуі, қисық ұзындығының
бастапқы доғасы, қисықты анықтау үшін қолданылатын параметризацияға
қарамастан бірдей:

Айналу денесінің көлемі

[a,b] сегментіне y=f(x) функциясының
графигі ОХ осінен айналған болсын. Сол айналудан пайда болған
дененің көлемі мына формуламен анықталады:

Формуланы дәлелдеу үшін айналу денесін
жазықтықтармен қиямыз, яғни х және х+∆х нүктесінде ОХ осіне перпендикул
яр көлем элементін аламыз

1-сурет

Бұл элементті биіктігі dx, ал табанының радиусы f(x) дөңгелегі болатын
2
цилиндр деп қарастырамыз. Табанындағы дөңгелектің ауданы S=πf (x), ал
элемент көлемі dV=πf (x)dx болады. Айналу денесінің көлемі келесі
2
формуламен анықталады: