Page 39 - Жоғарғы математика кітабы

Функцияныњ н‰ктеде кемімелі жєне µспелі болуыныњ жеткілікті шарты

Функцияныњ кесіндіде кемімейтін не µспейтін функция болуыныњ ќажетті
жєне жеткілікті шарттары.

Анықтама. Егер х 0 нүктесінің (х 0-δ; х 0+ δ) маңайы табылып, барлық
х?(х 0- δ; х 0+ δ) -тер үшін
х<х 0болғанда f(x)<f(x 0 (f(x)>f(x 0), aл x>x 0 болғанда f(x)>f(x 0) (f(x)<f(x 0))
болса, f(x) функциясы х=x 0 нүктесінде өспелі (кемімелі) функция деп
аталады.

Енді функцияның нүктеде өспелі және кемімелі болуының жеткілікті шарты
жайындағы теореманы тұжырымдайық.

Теорема. Егер f(x) функциясының х 0 нүктесіндегі f?(x 0) туындысы арқылы
болса , онда f?(x 0)>0болғанда ол функция х 0 нүктесінде өспелі , ал f?(x 0)<0
болғанда –кемімелі болады.

/
Кері тұжырым дұрыс емес, яғни өспелі не кемімелі функция үшін f (x 0)=0
теңдігі орындалатын х 0 нүктесі бар болуы мүмкін .

3
/
Мәселен, f(x)=x функциясы(-∞;+∞) интервалында өспелі, бірақ f (0)=0

Теорема. f(x) функциясы [a;b] сегментінде үзіліссіз болып, (а; b)
интервалында дифференциалдансын. Онда f(x) кемімейтін (өспейтін) болуы
/
/
үшін әрбір х?(а; b) нүктесінде f (x)?0 (f (x)?0) шартының орындалуы қажетті
және жеткілікті.

Функцияның өсуі және кемуі шарттарынан пайдаланып кейбір теңсіздіктерді
дәлелдеумүмкін . Бұған мысал келтірейік.

1. Әрбір х?(0; ) үшін tgx>x теңсіздігі орындалады. f(x)=tgx-x болсын. Онда
әрбір

х?(0; ) үшін

болғандықтан осы аралықта f(x) өспелі болады, яғни 0<х< үшін

0=f(x)x