Page 44 - Жоғарғы математика кітабы

Теорема-3. Иілу нүктесінің қажетті шарты. интервалында ƒ(х) функциясы
дифференциалданып, нүктесінде екінші ретті туындысы ƒ''( ) бар болсын.
Егер нүктесі иілу нүктесі болса, онда ƒ'( )=0 болады.

Теорема-4. Иілу нүктесінің жеткілікті шарты.
Егер үшін ƒ''(х)>0, үшін ƒ''(х)<0
немесе үшін ƒ''(х)<0, үшін ƒ''(х)>0 шарттары орындалса,
онда нүктесі иілу нүктесі болады.

Мысалдар мен ескертулер.

1. болсын. Онда болғандықтан, 2-теорема бойынша

ƒ(х) функциясы (-∞;+∞) интервалында ойыс болады. Сондықтан, х 0=0
үшін ƒ''(0)=0 болса да, х 0=0 иілу нүктесі емес.

Мұнан мынадай қорытынды шығады: ƒ''(х 0)=0 шарты 3-теорема
бойынша иілу нүктесі болуының қажетті шарты болса да, жеткілікті
шарты емес.

2. 4-теорема бойынша функциясы үшін х 0=0 иілу нүктесі болады,
өйткені болғандықтан, х<0 үшін ал х>0
үшін . 2-теорема мен иілу нүктесінің анықтамасы
бойынша функциясы үшін х 0=0 иілу нүктесі

болмайды, өйткені х≠0 үшін

Бұл екі функцияның х 0=0 нүктесінде екінші ретті ақырлы туындысы жоқ,
бірақ сол нүкте біреуінің иілу нүктесі болса, екіншісінің иілу нүктесі емес.
Сөйтіп, функция дифференциалданбайтын нүкте иілу нүктесі болуы да,
болмауы да мүмкін.

Айтылғаннан келесі қорытынды жасауға болады: функцияның иілу
нүктелерін тек қана екінші ретті туындысы бар болып, 0-ге тең болатын және
екінші ретті туындысы жоқ болатын нүктелердің арасынан іздеу керек.

Анықтама: х→+∞- да немесе х→-∞- да

(1)

Шартын қанағаттандыратын түзуі ƒ(х) функция графигінің көлбеу
асимптотасы деп аталады.