Page 41 - Жоғарғы математика кітабы

(1) шартын сәл өзгертіп былай жазсақ, онда
локальді қатаң максимумның (локальді қатаң максимумның) анықтамасына
келеміз.

J аралығында анықталған f(x) функциясының локальді экстремум нүктелерін
табу есебін қарастырайық. Ондай нүтелерді келесі

1) нүктесінде f(x) функциясының ақырлы туындысы жоқ.

2) нүктесінде ақырлы туынды бар және 0-ге тең, яғни шарттардың
біреуін қанағаттандыратын нүктелерінің арасынан іздеу керек.

Сонымен бірге, локальді экстремумның қажетті шарты болатын бұл
жағдайлардың әрқайсысы да жеткілікті шарты емес.

Мәселен, және

функциялары үшін =0 локальді экстремум нүктесі емес, сонымен бірге сол
нүктеде функциясының ақырсыз туындысы бар, ψ
функциясының туындысы жоқ, дәл айтқанда ψ -'(0)=2 және ψ +'(0)=1

Теорема. ƒ(х) функциясы нүктесінің δ –маңайында үзіліссіз болып, оның
ойылған δ –маңайында дифференциалдансын (демек, нүктесінің өзінде ƒ(х)
функциясының ақырлы туындысы болуы да, болмауы да мүмкін ) және

интервалдарының әрқайсысында ƒ'(х) функциясы оң немесе теріс

итаңбалы болсын. Онда

1) егер барлық үшін ƒ'(х)>0 және барлық үшін ƒ'(х)<0 болса,
онда -локальді қатаң максимум нүктесі

2) егер барлық үшін ƒ'(х)<0 және барлық ƒ'(х)>0 болса,
онда -локальді қатаң максимум нүктесі

3) егер нүктесінің ойылған δ –маңайында ƒ'(х) бір таңбалы болса, онда
нүктесінде локальді экстремум жоқ.

Егер локальді экстремумге зерттеліп тұрған нүктеде ƒ(х) функциясының
екінші туындысы бар болса, онда жоғарыда келтірген теоремадан шығатын
келесі салдардан жөн.