Page 43 - Жоғарғы математика кітабы

4.
Ильин В.А Позняк Э.П “Основы математического анализа” “Наука”
1967г

Анықтама: ƒ(х) функциясы J аралығында берілсін. Егер ƒ(х)-тің графигінде
жатқан кез келген және нүктелері үшін сол нүктелердің
арасындағы жатқан графиктің бөлігі А 1А 2 хордасынан жоғары жатпаса, яғни
кез келген шарттарын қанағаттандыратын х 1 және х 2 нүктелері
үшін

Шарты орындалса, онда ƒ(х) функциясы J аралығында дөңестігі төмен
бағытталған, қысқаша, ойыс функция деп аталады.

ƒ(х) функциясы J аралығында анықталсын. Егер g(х)= ƒ(х)
функциясы J аралығында ойыс болса, онда ƒ(х) функциясы J аралығында
дөңестігі жоғары бағытталған, қысқаша, дөңес функция деп аталады.

Теорема-1. ƒ(х) функциясы J аралығында дифференциалдансын. Онда ƒ(х)
дөңестігі төмен (жоғары) бағытталған функция болуы үшін ƒ'(х)
функциясы J аралығында кемімейтін (өспейтін) функция болуы қажетті және
жеткілікті. Егер ƒ'(х) функциясы J аралығында дифференциалданса, яғни ƒ(х)
функциясының сол жиында екінші ретті туындысы бар болса, онда ƒ'(х)
функциясы J аралығында кемімейтін (өспелі) болуы үшін
әрбір үшін ƒ''(х)≥0 (ƒ''(х) ≤0) теңсіздігі орындалуы қажетті және
жеткілікті. Сондықтан 1-теореманың салдары болатын келесі теоремаға
келеміз.

Теорема-2. Егер ƒ(х) функциясы J аралығында екінші ретті туындысы бар

болса, онда ƒ(х) дөңестігі төмен (жоғары) бағытталған функция болуы үшін
әрбір үшін ƒ''(х)≥0 (ƒ''(х) ≤0) теңсіздігі орындалуы қажетті және
жеткілікті.

Анықтама: ƒ(х) функциясы интервалында анықталған және үзіліссіз
болсын. Егер нүктесінің белгілі бір оң және сол жақты
маңайларында ƒ(х) функциясының дөңестігі қарама- қарсы бағытталған
болса, онда нүктесі ƒ(х)-тің графигінің иілу нүктесі деп аталады.