Page 16 - Жоғарғы математика кітабы

§4.5. Бағыт бойынша туынды. Градиент және оның қасиеттері.

Жанама жазыктық және нормаль (тіктем)

1. Бағыт бойынша туынды. D аймағында үзіліссіз және барлық дербес
туындылары да үзіліссіз болатын u=f(x,y,z) үш айнымалы функция
берілсін. M(x,y,z) Dжәне бағыттаушы косинустары cos α, cosβ, cosγ
болатын S векторын қарастырайық (25-сурет).

25-сурет

векторында, оның басынан ∆S қашықтықта М1 (х+∆х, у+∆у,z+∆z) нүктесін
белгілейміз. Онда

болады да u(x,y,z) функциясының толық өсімшесін

(1)

түрінде жаза аламыз. Мұнда ε 1, ε 2,ε 3 шамалары ΔS→0 (ұмтылса) нөлге
ұмтылады. (1)-нің барлық мүшелерін ΔS -ке бөлейік

(2)

мұнда

болатыны көpiнiп тұр. Сондықтан, (2)-ні келесі түрде жаза аламыз

ΔS→0 ұмтылғандағы қатынасының шегі u =
u(x,y,z) функциясының (x,y,z) нүктесіндегі вектор бағыты бойынша

туындысы деп аталады да арқылы белгіленеді. (З)-теңдікпен ΔS→0
ұмтылдыра отырып шекке өтсек

(4)