Page 13 - Жоғарғы математика кітабы

Анықтама. Егер нүктесінің қандайда бip | маңайының
әpбip х#х 0 нүктесі үшін

.

теңсіздігі орындалса, онда х 0 — нүктесінде y = f(x) функциясы
өceді (кемиді) дейді.

4.Айқындалмаған функцияны дифференциалдау.

Күрделі функция туындысы. Толық туынды

(1)

теңдеудегі u мен v тәуелсіз х пен у айнымалыларының функциялары болсын:

(2)

Бұл жағдайда z тәуелсіз х және у айнымалыларының күрделі функциясы
болады.

Егер z-тi тікелей х,у арқылы өрнектесек

(3)

аламыз.

F(u,v), φ (х,у), ψ(х,у) функцияларының барлық аргументтері бойынша дербес
туындылары үзіліссіз болсын.

(3) - тендеуді пайдаланбай, тек (1) мен (2) тендеулерінен және
есептейік.

у-мәнін өзгертпей сақтай отырып, х –аргументіне ∆х-өсімшесін берейік.
Онда, (3) бойынша Ф ∆ xФ дербес өсімше, ал u мен
v ∆ xv және ∆ xv өсімшелерін алады. Сондықтан, өз кезегінде z =
F(u,v) функциясы ∆F(u,v) өсімшесіне ие болады (§2 -ні қараңыз):

∆F(u,v) өсімшесі (З)-теңдік бойынша ∆ xФ тең екенін көрсетеміз. Соңғы
теңдіктің барлық мүшелерін ∆ x-ке бөлеміз:

Егер ∆ x→0 ұмтылса, онда