Page 56 - Жоғарғы математика кітабы

1. Егер [а;b] кесіндісінде дифференциалданатын y=ƒ(x)функциясы өспелі
(кемімелі) блса, онда осы кесіндіде функцияныңтуындысы теріс емес

(оңемес), ягни f?(x)> 0 (f?(х)<0).

2.Егер [a;b] кесіндісінде үздіксіз және оныңішінде дифференциалданатын
функцияныңоң(теріс) туындысы бар болса, онда функция осы кесіндіде өседі
(кемиді).

y=f(x) функциясы қандай да бір интервалда кемімейтін (өспейтін) деп
аталады, егер осы интервалдан алынған кез-келгенх 1<х 2 үшінƒ(х 1)
≤ƒ(x 2)(ƒ(х 1)≥f(x 2))теңсіздігі орындалса.

Функция кемімейтін немесе өспейтін интервалдар
функцияның монотондық интервалдары деп аталады.
Функцияның туындысы нөлге айналатын немесе үзілетін нүктелері
оның кризистік нүктелері деп аталады.

Егер кез-келген |Δх|≠0 шексіз аз үшін f(x 1+Δx)<f(x 1)теңсіздігі орындалса,

онда х 1нүктесі y=f(x)функциясының локальды максимум нүктесі деп аталады.
Егер кез-келген |Δх|≠0 шексіз аз үшін f(x 2+Δx)>ƒ(x 2)х 2 теңсіздігі орындалса,
онда х 2 ннүктесі у=f(x)функциясының локальды минимум нүктесі деп
аталады. Максимум және минимум нүктелері функцияның экстремум
нүктелерідеп аталады.

Теорема 1 (локальды экстремумның қажетті

шарты). Егерy=f(x)функциясыныңх=х 0 нүктесінде экстремумы бар болса,
ондаƒ?(х 0)=0 немесе f(x 0)жоқ.

Теорема 2 (локальды экстремумның бірінші
жеткілікті шарты).y=f(x)функциясы х=х 0 нүктесі жататын қандай да бір
интервалда үздіксіз және осы интервалдыңбарлықнүктелерінде

дифференциалдансын. Егер х<х 0 болғанда f(x)>0, ал
х>х 0 болғанда f(х)<0болса, онда х=х 0 нүктесінде
у=f(x)функциясыныңмаксимумы бар. Егер де х<х 0 болғанда f(x)<0,
алх>х 0болғанда f(x)>0 болса, онда
х=х 0 нүктесіндеy=f(x)функциясыныңминимумы бар.

Теорема 3 (локальды экстремумның екінші

жеткіліктішарты).y=f?(x)функциясы екі рет дифференциалдансын
жәнеf(х 0)=0болсын. Онда х= х 0нүктесінде функцияныңлокальды максимумы
бар, егер f"(х 0)<0 және локальды минимумы бар, егерƒ"(х 0)>0болса.

f"(х 0)=0болса, онда х=х 0 нүктесінде экстремум болмауы да мүмкін.