Page 92 - Жоғарғы математика кітабы

(8.3) ауыстыруымен рационалданады, мұндағы S – ортақ бөлім

dz 1 z − 3
J-ге қойсақ, J = 2  = n  +C . Алғашқы айнымалы х-ке оралып,
z 2 −3 3 z + 3

2
J = 1 n  2 x + 4 x + 4 x + 3 − 3 + C болатынын көреміз.
2
3 2 x + 4 x + 4 x + 3 + 3
Мысал 4  1 − x 4 − x 2 dx . Мұндағы = − 1 , 0 ал = 1 0. Эйлердің екінші
a
c
4 − x
алмастыруы бойынша, 1− x 2 = zx − 1. Осы алмастыру арқылы берілген
интеграл астындағы функция рационалданады да,

1  x + 2 
 1 − 4 x − x 2 dx =  ( x + )2 1 − 4 x − x + arcsin5  + C болады.
2
2  5 

18.Тригонометриялық функцияларды

интегралдау.Функцияның интегралын есептеу.


Тригонометриялық функцияларды интегралдау: sin m xcos n x dx, m,n бүтін
(нақты) сандар. Интеграл астындағы функция мына жағдайларда
рационалданады:

2 +
а) Егер m = 2 k + 1  0 болса, t=cosx алмастыруы, ал n =  1  0 болса
t=sinx алмастыруы арқылы:

ә) m, n-жұп және нөлден үлкен немесе нөлге тең болса, онда дәреже
төмендететін келесі формулалар пайдаланылады:

1 1
sin 2 x = (1− cos 2 ) x ; cos 2 x = (1+ cos 2 ) x ;
2 2 (2)
sin x cos x = 1 sin 2 x
2

Мысал 1

cos xdx n = 3 0  t = sin x ;dt = cos xdx
3
J =  = =
3
2
sin x cos x = cos x cos x = 1 ( − sin 2 ) x cos x
2
( 1 t− 2 )dt  1  1 1
 =   − 1 dt = − − t + C = − − sin x + ; C

t 2 t  2  t sin x
Мысал 2 J =  sin 4 xc Cos 2 xdx
Шешуі