Page 93 - Жоғарғы математика кітабы

2
(1− cos 2x ) (1+ cos 2x ) 1
 dx =  ( 1− cos 2 2x )(1− cos 2x )dx =
4 2 8
1  sin 2 2x (1− cos 2x )dx = 1  sin 2 2xdx − 1  sin 2 2x cos 2xdx =
8 8 8
)
1 (1− cos 4x )dx − 1 sin 2 2xd (sin x =
2
16  16 
x sin 4x sin 2 2x
= − − + . C
16 64 48
б) Егер m мен n-сандары жұп болып,және біреуі теріс немесе m+n
нөлден кіші жұп болса, онда келесі алмастырулар қолданылады.

dz z 2
z = tgx (z = ctgx ) x = arctgz ;dx = ; sin x = ;
2
1 z+ 2 1 z+ 2 (5.3)
cos x = 1 .
2
1 z+ 2
Мысал 3  sin 4 xdx dx интегралды есептеу керек.
cos 6 x
Шешуі

z = tgx
4
sin 4 xdx  sin x  dx
 dx =     = dx =
cos 6 x  cos x  cos 2 x dz =
cos 2 x
tg 5 x

= tg 4 xd( tgx) = + C
5
2 R (sin x cos x ) dx түріндегі интеграл, мұндағы R-интеграл астындағы

,
рационал функция. Бұл функция
x
−
z = tg (   x  )  алмастыруы арқылы рационалданады. Бұл алмастыру
2
2z 1 z− 2 x 2dz
sin x = ; cos x = ; = arctgz  x = 2arctgz , dx =
1 z+ 2 1 z+ 2 2 1 z+ 2
формулалары арқылы sinx пен cosx –тен тәуелді рационал функцияны z-тен
тәуелді рационал функцияға келтіреді. Осы мағынада бұл алмастыру
универсал алмастыру деп аталады.

Ескерту: Кей жағдайда z = tg x орнына z = ctg x 0 (  x  2 )
2 2
алмастыруы пайдаланылуы мүмкін.

Мысал 4  dx
1 + sin x + cos x

Шешуі z = tg x алмастыруы бойынша,
2
2 dz
 1 + z 2 2 =  dz =  n +1 z + C =  n +1 tg x + C

1 + z 2 + 1 − z 1 + z 2
1 + z 2 1 + z 2