Page 115 - Жоғарғы математика кітабы

Біз кeлeci маңызды теореманы дәлелдедік.

1-теорема. Егер z = f(x,y) функциясыныц (х,у) нүктесінде үзіліссіз дербес
туындылары бар болса, онда оның осы нүктедегі жеткілікті аз (∆х,∆у)-ке
сәйкес өсімшесін келесі формула түрінде жазуға болады

(4)

(4)-теңдіктегі дербес туындылар ∆х,∆у-ке тәуелді емес. Сондықтан теорема
шартынан функция өciмшесін кeлeci формула түрінде жазуға болатыны
шығады:

(5)

(мұндағы А мен В сандары ∆х,∆у -ге тәуелді емес).

Анықтама. Егер f функциясының (х,у) нүктедегі өсімшесін жеткілікті
аз (∆х,∆у) үшін (5) теңдік түрінде жазуға болатын болса, онда f функциясы
(х,у) нүктесінде дифференциалданады дейді.

(5) теңсіздіктегі А∆х + В∆у қосылғышы (∆х,∆у) бойынша сызықты функция.

Ол ∆f өсімшесінің сызықты бас бөлігі деп аталады, ал қалған қосылғышы
(∆х,∆у) өсімшелерімен күрделі тәуелділікте болады, бірақ ол қосылғыш ∆х
пен ∆у-ке салыстырғанда нөлге жылдамырақ ұмтылады.

Егер f функциясы (х,у) нүктесінде дифференциалданса, яғни (5) теңдік
орындалса, онда оның осы нүктеде

(6)

тендіктері орындалатындай дербес туындылары болады. Мысалы, (5)
теңдіктегі ∆х = h, ∆у = 0 деп алсақ, онда (∆ρ = h→0)

∆z = ∆ xz = Ah + o(h), h→0

ол бұдан

аламыз.