Page 117 - Жоғарғы математика кітабы

24-сурет

(8) жазыктықты П деп белгілеп, оньң қасиетін
қарастырайық. х,у жазықтығында Р 0(х 0,у 0) нүктесіне жақын
етіп Р(х,у) нүктесін алайык, (24-сурет). Р нүктесі арқылы өтетін z өсіне
параллель түзу П жазықтығының Т нүктесіне, ал S бетінің М нүктесінде
өтеді.

М - нүктесінің аппликатасы z = f(x,y), ал Т – нуктесінің аппликатасы

болғандықтан М мен Т нүктелерінің ара қашықтығы

(9)

тең. Р мен Р 0 нүктелерінің ара қашықтығы

Шарт бойынша f функциясының (х 0,у 0) нүктесінде үзіліссіз туындылары бар
болғандықтын, f функциясы осы нүктеде дифференциалданады. Сондықтан,
(9)-ің оң жағындағы өрнек (функция өciмшесі мен дифференциалының
айырымы ретінде) ρ-ға салыстырғанда нөлге жылдамырақ ұмтылады:

|МТ| = о(ρ), ρ→0.

Сонымен, S бетінің M 0(x 0,y 0,z 0) нүктесіндегі жанама жазықтық келесі
қасиетке ие болады екен: S бетінің кез келген (x,y, f(x,y)) нүктесінен z - өсінің
бағыты бойынша П жазықтыққа дейінгі қашықтық Р(х,у);
Р 0(х 0,у 0) нүктелерінің ара қашықтығына салыстырғанда ақырсыз аз шама.

(8) теңдіктің оң жағы f функциясының (х 0,у 0) нүктедегі (х – х 0, у –
у 0) өсімшеге сәйкес дифференциалы