Page 126 - Жоғарғы математика кітабы

жеткілікті шағын (аз) маңайында функция өсімшесі: ∆f= f(x,y)-
f(х 0,у 0) таңбасын өзгертпейтінін көреміз:

локальдік максимум (max) үшін ∆f 0;

локальдік минимум (min) үшін ∆ f ≥ 0.

Енді, алдымен, экстремумнің қажетті шартын дифференциалданатын
функциялар үшін қарастырамыз.

Теорема (экстремумнің кажетті шарты). Егер дифференциалданатын z =
f(x,y) функциясының P 0(х 0,у 0) нүктесінде экстремумі бар болса, онда оның
осы нүктедегі дербес туындылары нөлге тең:

Салдар. Егер P 0(х 0,у 0) нүктесінде дифференциалданатын z = f(x,y) функциясы
осы P 0 нүктеде экстремумге ие болса, онда

1-Ескерту. f функциясының P 0(х 0,у 0) нүктесінде экстремумі болуы үшін (1) -
шарт жеткілікті бола алмайды.

Егер f функциясының үзіліссіз дербес туындылары үшін P 0(х 0,у 0) нүктесінде
1- шарт орындалса, онда Р 0 - f(x,y) функциясының стационар нүктесі деп
аталады.

z = f(x,y) бетінің Р 0(х 0,у 0) - стационар нүктесіндегі жанама жазықтығының,
теңдеуі

Z = Z 0

түрінде жазылады. Өйткені, бұл нүктеде (1) шарт орындалады да, жанама
жазықтық теңдеуінің, яғни

теңдеуінің оң жағы нөлге тең болады.

Дифференциалданатын z = f(x,y) функциясының Р 0(х 0,у 0) нүктедегі
экстремумнің жеткілікті шартының геометриялық, мағынасы - функция
графигінің осы нүктедегі жанама жазықтығының x,y – тәуелсіз айнымалылар
жазықтығына параллель болатынын көрсетеді.