Page 127 - Жоғарғы математика кітабы

2-ескерту. Берілген нүктелерде үзіліссіз функцияның дифференциалы жоқ
болса да ол нүктелер экстремум нүктелері болуы мүмкін.

f функциясының стационар нүктелері мен оның дифференциалданбайтын
нүктелерін - критикалық (күндікті) нүктелер деп жалпы түрде атайды.

Экстремумнің жеткілікті шартын жалпы жағдайда келесі түрде
тұжырымдауға болады.

Р 0(х 0,у 0) нүктесі z = f(x,y) функциясының стационар нүктесі, ал
функция Р 0 нүктесінің қандайда бір маңайында екі рет
дифференциалданып Р 0 нүктесіндегі барлық екінші ретті дербес туындылары
үзіліссіз болсын. Онда:

1) егер екінші ретті дифференциал x, y өсімшелерінің
функциясы ретінде, бір мезгілде нөлге тең емес х, у-тің барлық мәндер
жиынтығында тұрақты таңба сақтаса, ондаz = f(x,y) Р 0-нүктесінде
2
экстремумге ие болады, атап айтқанда, d z(Р 0, x, y)<0 болса - максимум,

2
d z(Р 0, x, y)>0 болса — минимум

қабылдайды;

2
2) егер d z(Р 0, x, y) x, y -тің таңба айнымалы функциясы болса,
ондаР 0 -нүктесінде функция экстремум қабылдамайды;

2
2
3) егер d z(Р 0, x, y) 0 немесе d z(Р 0, x, y) 0 болып, екінші
дифференциал нөлге тең болатын х, у мәндер жиынтығы ( х, у-бір
мезгілде нөлге тең емес) бар болса, онда қосымша зерттеу қажет болады.

2. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері. Егер f(P) функциясы
шектелген тұйық аймақта: үзіліссіз дифференциалданса, онда f
функциясы өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін стационар нүктелерде
немесе аймақтың Г шекарасындағы нүктелерде қабылдайды.

3. Шартты экстремум. Практикада тәуелсіз айнымалылардың емес, қандай да
бір қосымша шарттар арқылы байланысқан (мысалы, қандай да бір берілген
теңдеулерді қанағаттандыратын) көп айнымалылар функциясының
максимумы мен минимумын табуға арналған есептер жиі кездеседі.

х пен у айнымалылары

тендеуімен байланысқан (оны байланыс теңдеуі деп атайды)